本文通过建立动态经济模型的理论,来研究申请参与反向抵押贷款的老人是否会随着健康状况的变化而搬家的问题。
老年人的健康、住房和流动性
作者：Jonathan S. Feinstein
本文通过建立动态经济模型来研究老人是否会随着健康状况的变化而搬家的问题。这个模型包括三种健康状况（好、有点差、很差），以及与之相应的三种住房状态（普通住房、过渡性住房、和社会公共机构住房），并包括几种不同类型的搬家成本（包括直接的效用成本，搬家对健康造成的间接影响，较复杂的模型中还包括金融交易成本）。
我的第一个模型是在简单的环境中考虑年老者的流动性，该模型中效用仅仅由住房与健康的匹配情况和遗产决定。第二个模型是对第一个模型的扩展，因为它还考虑了住房价格、家庭财富和老年人的消费决策这些因素。
这两个模型的大量模拟的结果表明，即使搬家的成本很大也仍然表现出较强的流动性。从这些结果中也可以看出过渡性住房的重要性，以及住房、流动性、住房财富和消费之间的相互关系。
美国老年人口数目的增长使美国社会和政策制定者面临着许多挑战，其中最重要的就是为那些身体健康变差的老年人提供适宜的住房。
老年人很容易遭到病痛的侵袭，从而身体变差，因此会产生对不同种类的老人住房和社区服务的需求——从对具有某种建筑特色（如有轮椅通道）的住房的需求，对家庭卫生保健和基本的社区服务的需求，到身体非常差的人对疗养院医疗护理的需求。在过去的几十年里，人们已广泛认可了对这些类型的住房的需求，而各种类型住房数目的增长也似乎向我们承诺了一个能使每个老年人都能住到与他最匹配且他最满意的住房中去的世界的到来，从而当一个人的健康状况改变时，他就会搬到他更加偏好的另一类型的房屋中去。
虽然这个景象很诱人，但忽略了一些重要因素，如流动性成本和影响老年人住房决策的经济因素。以前的研究表明，如果老人已经在他们的住房里居住了很长时间，那么一般都不喜欢搬家，详见Feinstein和McFadden(1989)、 Venti和Wise(1989)、Sheiner和Weil(1992), 他们都表明老年人的流动性是非常低的。老年人不愿意搬家的一部分原因是因为对现有住房的情感依恋（Danigelis和Fengler(1991)），一部分原因是因为搬家的成本太高，包括心理的、健康的和金融上的成本。老人往往更愿意忍受现有的居住环境给他们每天生活造成的不便，也不愿意承担搬家的高成本。事实上，一个老人在健康恶化的时候可能并不会搬家，这就使得我们对住房类型与健康状况相匹配的设想由简单变得复杂，这也建议我们在分析时应考虑相关的流动性成本等。另外，不管是购买住房还是租房居住，都是很费钱的，而许多与家庭有关的医疗卫生服务，如医疗护理，也是很昂贵的。因此老人的住房决策总是由各种类型住房的价格、这些价格预期的变化、家庭财富、消费和遗产决策、以及他们自身的一些复杂因素所决定，Hurd（1999）对此作了广泛的调查。对老年住房的更加深入的分析也考虑了价格、老年家庭的其他经济决策对住房决策的影响。本文的目的是为了研究老人的健康状况和住房决策的关系，尤其是研究流动性成本和其它经济因素对这个关系的影响。我建立了一个动态经济模型，运用已发表的文献资料来确定模型的参数，然后通过计算机对模型进行模拟，并对这些模拟结果进行分析。实际上，我建立了两个模型，第一个简单点，用来解释健康状况和住房类型之间主要的相关关系，第二个模型是对第一个模型的扩展，它还包括了经济因素。
这两个模型有一些共同的特点，而这也是我研究的重点。两个模型都从老人的65岁开始跟踪调查到了90岁，都用一个性别、健康状态和前一年的住房状态的函数来模拟每一年老人是否搬家以及选择何种住房的决策。两个模型都引入了发病率和死亡率参数，并用一个年龄、性别和现在身体健康状况的函数来预测将来的健康状况。最后，在进行模拟时，两个模型都考虑了三种不同的身体健康状况，分离是好、有点差、很差，而且必定居住在以下三种住房状态中的一种：普通的住房，过渡性的住房（包括很多种住房，如退休老人社区），社会公共机构类住房（包括疗养院和收容所）。
在大致这样的背景下，第一个模型主要考虑了两个因素。一、它引进了一个简单的效用函数，即当一个人住房的类型与他的健康状况相匹配时，他的效用最高，但不匹配是就较低。也就是说，身体有点差的人住在过渡性的住房里的效用最高，住在普通住房和社会公共机构住房中的效用要低一些；而一个身体健康的人更喜欢住在普通住房里；一个身体很差的人居住在社会公共机构类住房中最好。二、第一个模型考虑了几种不同的流动性成本，包括离开原住房的分离成本（情感依恋成本），一个直接但只是暂时性的效用成本和一个健康成本。
对第一个模型的分析表明，当没有流动性成本时，人一般都会随着健康状况的变化而搬到他更加偏好的另一类型的住房中去，但搬家的成本降低了流动性，成本越高，降低的幅度越大。更有趣的是，从分析中我们还可以看出过渡性住房的重要性。我发现，对于大多数人来说，在他们健康状况由好变坏时，会马上搬到过渡性住房去。但即使搬家的成本相对较低，那些身体状况很差的人一般也不会选择搬进公共机构住房中去，尤其当这些老年人年龄相对较小的时候。总的来说，在多数的模拟中，过渡性住房资产就起了一个"吸收并吞"的作用，所以一旦老年人搬到这种住房中去了，他门就将一辈子住在那里了。而且很少有人会跳过过渡性的住房资产，即当他们健康状况开始变差时，并不从普通住房搬入过渡性住房，而是当身体变得很差时，直接搬入了公共机构类住房中。
第二个模型是对第一个模型的扩展，更多地关注了家庭财富和遗产，并包括了住房价格，更重要的是，它还模拟了每个人每期的消费决策和住房决策。这个模型的模拟结果与第一个模型的结论基本一致，也表明了过渡性住房的重要性。这些结果也解释了消费、储蓄、资产消耗与住房选择之间的关系；举例说，财富较少的老年人很可能采取"破产"策略，他们消费掉他们现存的财富，然后就搬入社会的公共机构，成为社会的负担。总的来说，这两个模型都能够较好地模拟现实中的流动性状况，并为我的经济模型提供了支持。
文章其余部分是这样安排的。下一部分讨论第一个模型，包括健康变化的矩阵和其它关键变量。第三部分分析第一个模型的模拟结果。第四部分讨论的是第二个模型，第五部分分析了这个模型的模拟结果。最后，第六部分给出了一些总结性的结论，附录中讨论了建立转变矩阵的程序。
第二部分：第一个模型——详述和参数化
在这一部分，我用的是一个关于老年人健康状况和流动性的相对简单的模型。这个模型假定老人每年的效用只由该年他的住房类型和健康状况的匹配情况，以及在该年或者前一年是否搬过家来决定。一生的总效用假定为每一年效用的现值与遗产效用的现值之和。因为主要是研究健康状况和住房之间的关系，这个模型很适合研究健康状况的变化与住房的流动性以及住房的特征之间的关系，我将在第三部分对该模型的模拟模型进行分析。但是，这个模型不能告诉我们，老人的健康状况和流动性成本是怎样起作用的，又是怎样受到金融激励和经济决策的影响的，因为它只考虑了家庭财富中遗产的影响，并没有考虑年金收入、住房价格、消费决策的影响。第四部分中讨论的第二个模型，就包括了这些因素在内。
在介绍这个模型时，我首先介绍了分析中所用到的各种健康状况的类型、健康状况变化的概率和住房类型。然后我介绍了效用、两种流动性成本——搬家的直接效用成本和间接的健康成本。最后我更详细地分析了老年人的决策过程。因为我是通过计算机来模拟这个模型的，所以我必须将该模型中的几个不同的函数和分布参数化，比如健康状况变化的概率、死亡率、和效用。参数化的过程和这个模型一起介绍，并表示在几个表格中，附录中详细地介绍了这些表格的来源和构建方法。为了完整性，也为了更好地理解该模型的结论对参数值变化的敏感度，对男人和女人设定不同的参数值。
还要注意两点。首先，这个模型的许多方面，包括参数设置，也将被用于第四部分的模型。二、在这篇论文中，只分析单人的老人家庭（只有一个人的家庭），不管是男还是女。对两人的家庭的分析也是很重要的，但我们将其留待进一步的研究。
考虑一个65岁的老人，他单独居住，而且当他死了之后有后代继承财富（包括住房财富）。假定这个老人的身体非常健康，拥有他或者她自己的住房。
从66岁开始，以及以后尚健在的每一年，他都面临着身体健康变坏和死亡的风险。为了衡量这个风险和的健康变坏的不同程度，我假定他尚健在的每一年都处于以下三种健康类型中的一种：身体健康状况好、有点差和很差。我根据受到限制的日常活动（Activities of daily life ---ADLs）和需要外界帮助的日常活动（Instrumental activities of daily living---IADLs）这两个指标来对身体健康状况分类，从而与标准的老年医学的术语相同。因此，当ADLs为0，IADLs为0~2时，代表该老人身体健康。当ADLs为1或者2，还有几个IADLs时，代表该老人的身体健康状况有点差。这个人可能在普通的住房中会有一些不便，尤其是有楼梯和其它妨害物的时候。当他搬到老年社区、合适的退休公寓或者建筑设计良好且交通、购物等都很便利的住房中时，会过得更加舒适（Altman，Lawton，Wohlwill（1984）中有详细的论述）。当有几个ADLs和许多IADLs时，代表该老人的身体状况很差，他在日常生活中会受到很多限制，会有很多不便。因此身体很差的人长期住在提供医疗设施的地方如疗养院中会比较好。事实上，与标准的老年医学的术语一致，对我的分析很重要，因为我用来进行参数化的公开资料，几乎全部都是用ADLs和IADLs来对健康状况进行分类的。一个年龄为t的老人，在t+1岁时的健康状况必定是以上三种健康状况中的一种，要不就是已经去世了。另外，老年在年龄t时是否搬家，搬到哪里，决定于她对自己在t+1岁及以后各年龄的身体健康的预期。因此，这模型的一个主要特点是对健康状况变化概率的参数设置，描述从t岁到t+1岁的健康状况的变化。表1和表2列出了健康状况变化的概率。表1分别列出年龄为t的男人和女人各自的健康状况变化的概率，3*3的变化矩阵中的九个数据表示了从年龄t时的各个健康状况变为t+1时的三种健康状况的概率。从表格中可以看出，在不同的年龄，这些概率也是不同的。表2描述了年龄为t+1时的死亡风险，它是年龄为t时的健康状况的函数，男人和女人分别考虑。
表1和表2中的健康状况变化的概率只对那些在年龄t时不搬家，或者虽搬了家但他健康变坏和死亡的概率却没有增加的人适用。然后，我介绍在搬家会使健康变坏和死亡的概率增加的模型中，如果一个老人选择在年龄t时搬家，那么表1和表2中的那些数字将怎么变化。
附录提供了构建表1、表2的细节。这里我只简单地介绍一下这两个表格。这些数据主要来源于：一是由Manton和他的合作者发表的一系列论文，其中有国家长期护理的调查得到的数据（Manton（1988）； Liu，Manton and Liu (1990）），这些论文提供了身体健康、身体状况有点差和死亡两两之间发生变化的大量信息。另一个来源是在Feinstein和Keating （1992）中的表格，这些表格是从国家疗养院调查（National Nursing Home Survey）和一些搬入和离开疗养所的数据的经济计量分析中推导出来的，这些表格提供了身体健康变得很坏以及从很坏的身体健康状况变好的信息。这些数据并不总是一致的。当不一致时，表1和表2的数据一般都是这两个数据来源中的数据的折中。另外，这些表格的概率值的变化是平滑的，以保证随着时间变化的一致性，比如一个在t时健康的人在t+1时仍然健康的概率随着t的增加而下降。这些表格有一个缺陷，那就是表格中的数据对应的只能是老年人中的一个代表而已，实际上，老年男人和老年女人在现实生活中身体变差以及死亡的概率都是不一样的，而这些个人之间的差异表格却没能表示出来。
正如一个人每年必为这三种健康状况中的一种一样，她的住房也必为这三类住房中的一种。一种住房是普通住房，如一幢独立式家庭住宅，很适合身体健康的老人居住，但对身体健康有点差的人会带来一些困难。第二种住房是过渡性住房，可以看作是为那些身体有点差的老人准备的。这包括退休老人社区等，它们能提供便利的服务，也包括其它一些交通、购物等均很便利的公寓。最后，第三种住房是社会公共机构住房，包括疗养所、收容所等。
我介绍的这三种住房类型比以前的老年经济学方面的研究中的住房类型更丰富，以前的研究中只考虑了普通住房，或者只提供普通住房和社会公共机构住房这两个选择。因此我在建立模型时更进了一步，包括了老年人的"过渡性住房"。实际上，我已经大大简化了老人住房的类型，因为我把许多住房都归类到了"过渡性住房"中，但正如以下的分析会证明的那样，这种简化的方式仍然能让我们很好地了解老人的流动性状况。
每一期，老人都会选择是继续住在以前的家中呢，还是搬至另一类型的住房中去。我下面进一步研究决策的过程。
以上介绍的健康状况和住房类型是用一个效用函数联系起来的，某年的效用决定于健康状况和住房类型的匹配情况。这个函数有一个隐含的假定，那就是每一种健康状况都对应着一种最优的住房类型。因此，身体健康的人住在普通住房中最舒适，因为普通住房能很好地保护隐私、且大都宽敞并具有艺术价值。与之相对的是，身体有点差的人住在过渡性住房中最好，在这里老人的日常生活将变得更加容易和简单，且仍能拥有一定的自由和独立。而身体最差的人最好住到提供长期医疗设施的社会公共机构住房中去。
效用的函数反映了健康状况和住房类型的最优搭配，因为每年的效用都决定于健康状况和住房类型的匹配情况。当老人住在与他健康相匹配的最优类型的住房中时的效用最大，住在其它住房中时的效用就会降低。
表3给出了许多模拟的基准效用值。假定身体健康的人住在普通住房中的效用为1，住在过渡性住房中的效用为0.9，住在社会公共机构住房中的效用为0.5。类似地，身体健康有点差的人住在过渡性住房中的效用最大，为0.7，住在其它类型的住房中的效用为0.4。身体健康很差的人住在社会公共机构住房中的效用为0.4，住在普通住房和过渡性住房中的效用分离降为0.1，0.2。注意效用是在年末时计算的，所以如果该年搬家了的话，效用就由年终时他的健康状况和住房状态的匹配情况决定。
效用矩阵的对角线上的这三个数值对应的是每种身体健康状况能取得的效用的最大值。第一个数是1.0，是一个正常标准，剩下的两个数表示效用随健康状况变差而降低，即使老人住在与他的健康状况最匹配的居住环境中。Torrance(1986)、Viscusi和Evans(1990) 、Walker和 Rosser(1993)的一系列论文给出健康状况变差时的效用为0.7。Torrance给出了使用质量调整生命指数（Quallity Adjusted Life Year —QALY）来估算身体健康状况变坏带来的负效用，他认为健康有点差的人的QALY相当于身体健康的人一年效用的0.7。Viscusi和Evans发现收入的边际效用大约为0.7或0.8；假定效用函数是一个简单的乘数形式（正如我将在第四部分中讲到的那样） 而其它形式的消费保持不变，那么身体有点差的人一年的效用是身体健康的人一年的效用的0.7或者0.8。Walker和 Rosser介绍了用来衡量生活质量的最有名的几个指数。
选择0.4这个值是因为考虑到伴随着各种疾病引起的生活质量的下降，详见Walker和 Rosser（1993）、Birren,et.al.(1991)的论文集。
从效用矩阵的对角线以外的数字可以看出，因老人没有住在和他的健康状况最匹配的住房从而效用将降低。因为没有办法直接获得这些数值，因此我给出了它们的合理估计值。我也衡量了一下我的结论对这些对角线以外的最重要的元素（2，1）的数值变化的敏感度。该数值描述了一个身体健康有点差的人住在普通住房中的效用。 这个元素之所以重要，是因为：1.（2，1）是现实生活中最常见的非最优搭配。一个在65岁时身体健康且住在普通住房中的老人在接下来的年份中健康最有可能会变得有点差，如果他的身体变得有点差了，但他决定不搬家，那么他的效用就是（2，1）。2. 与身体健康状况很差的人比较起来，在确定元素（2，1）时还有较大的弹性。这是因为一个身体有点差的人住在过渡性住房中时的效用高达0.7 ， 因此当该老人住在其它类型的住房中时的效用能够下降的尺度还很宽。 而身体健康状况很差的人的最高效用也才为0.4，因此效用能够下降的空间很小。
元素（2，1）的单位效用为 0.4，比身体状况有点差的人能得到的最大效用0.7下降了47%。 有人可能会认为这个下降的幅度太大了，因此在模拟的时候，我假定了好几个参数值，分别为是0.5 （28% 的下降幅度），0.6（ 15%的下降幅度），0.63 （10%的下降幅度）。
一生的效用值是各年效用现值之和，模拟时的折现率为0.9或者0.95。
老人能留给后代的遗产也将给他带来效用。 因此和Feinstein和Keating一样，我假定一生的总效用是各年效用现值的和再加上遗产带来的效用的函数。
是总财富， 是总的健康成本， 和 是参数，遗产和年效用值的折现率相同。我假设老人在65岁时的财富为 ，在本文的第三部分中的模型中， 设为 500，000美元，在第四部分的模型中， 设为 250，000美元。 在第四部分中的模型中，财富只是一个小角色。我假定财富每年减少的幅度相同，均为 ，这只是对资产消耗的一个粗略的估计。我设 = 0.9。与Scitovsky(1998)相同，不同年龄和性别的 均为 20，000美元。最后， 设为0.00002， 设为0.5 。在这样的假定下，1,000,000的遗产的效用大约相当于一个身体健康的老人在普通住房住4.5年的效用，100,000相当于 1.5年。是总的健康成本， 和 是参数，遗产和年效用值的折现率相同。我假设老人在65岁时的财富为 ，在本文的第三部分中的模型中， 设为 500，000美元，在第四部分的模型中， 设为 250，000美元。 在第四部分中的模型中，财富只是一个小角色。我假定财富每年减少的幅度相同，均为 ，这只是对资产消耗的一个粗略的估计。我设 = 0.9。与Scitovsky(1998)相同，不同年龄和性别的 均为 20，000美元。最后， 设为0.00002， 设为0.5 。在这样的假定下，1,000,000的遗产的效用大约相当于一个身体健康的老人在普通住房住4.5年的效用，100,000相当于 1.5年。在这一部分的模型中，我考虑三种流动性成本，第一种是暂时的效用成本，如果老人在该年或者是前前一年搬家了的话，那么他该年的效用就会降低一个固定的额度。第二种是健康成本，因为搬家使身体变坏或者是死亡的概率加大。第三种流动性成本是分离成本，即如果该老人已经在原住房住了很长一段时间，那么搬家将对情感上造成负效用。假定老人在65岁时已经在该住房中住了很长一段时间，那么当他搬离该住房时，他的余生中的每一年都会遭受固定的一个效用损失。
要确定这些成本的值是很难的。所以给出了一组值以供选择，而不是确定出唯一的一个值。但健康成本的情况更加复杂，而且也不能用一组值来表示。为了得出健康成本的大致变化幅度，我将分两种情况来考虑，一种是健康成本只持续一年，一种是持续两年。下面更详细地介绍以上这三种成本的参数化过程。
首先考虑搬家的暂时效用成本。我将这种成本分为两类：一，成本固定型，即假定三种健康状况的效用成本都是一样的。将该成本的一组值设为 0,0.1, 0.2, 0.3, 0.4。注意这5个值覆盖的范围很广。 二、假定搬家的成本是每种健康状况对应的效用最大值的一个百分比 。 这些成本为：0.1,0.08,0.04；0.2,0.16, 0.08；0.3,0.24, 0.12；0.4,0.32,0.16，每一组中的三个数字分别代表身体健康、身体状况有点差、身体很差的老人的负效用。分别讨论直接效用成本持续一年（搬家的那一年）和两年的情况。
与流动性有关的健康成本的结构比其它成本更加复杂。搬家对死亡和身体健康变坏的影响与年龄、性别、和开始时的健康状况有关。为了描述流动性和健康之间的关系，建立一组乘数，乘上表1和表2的发病率和死亡率就得到两个新的表格，表4 和表5，这是用来描述搬家的老人的。从表4和表5可以看出，乘数使健康恶化和死亡的概率增加，身体变好的概率降低。 乘数值的大小是变化的，一般说来，基数越大，则乘数越小，而且那些开始时身体就有点差或者很差的人的乘数要大一些，因为实证表明搬家对这些人带来的负效用更大。我是这样来确定乘数值的，先确定好65岁和90岁的乘数值，然后将用线性插值法平滑地得出这两个年龄之间的其它年龄的乘数值。
考虑一个身体健康的男性的情况。我们借助对健康的男性的分析来看看乘数是如何决定的。65岁的人的乘数值，使身体状况变得有点差的概率变为以前的两倍（从0.051到0.102），身体变得很差的概率为以前的三倍（从0.0158到0.0474），死亡的概率变为原来的3倍（从0.015到0.045）；因此该老人在66岁时身体依然健康的概率就为剩下的概率值，即1减去其它三个概率值的差。 在90岁时，这三个乘数的值下降为1.5，2.0 和2.0， 所以身体变得有点差的概率从0.22 变为0.33， 身体变得很差的概率从0.1125上升到0.225，死亡的概率从0.104上升到0.208。在65岁到90岁之间，用线性插值法平滑地得出65岁与90岁之间的其它年龄的乘数值，但要注意的是，除了身体依然健康的概率之外，其它的概率值都不会随着年龄增加而减少。在模拟的过程中，我分别考虑搬家带来的成本只持续一年和持续两年这两种情况。
最后，考虑分离成本。当一个老人搬离他居住了很久的住房时，搬家给他精神上带来了负效用。 搬家所带来的这种巨大的痛苦在老年医学的文献中被广泛认可。比如说，在《没有地方像家一样》，Danigelis和Fengler 写道："住房对老年户主有很大的吸引力。归宿感和家族传统、因住了很长时间来产生的熟悉感和安全感、隐私等因素结合起来使家成为一直度过余生的场所。（第9页）"。他们还引用了一些通过调研和采访证明了老人对住房有深厚感情的研究。
分离成本可以用如下方式建模。首先，假定有一个65岁住在普通住房中的老人。如果老人搬家，他就会有一个固定的负效用，并且这中负效用将持续一个很长的时间，他的余生都会受到影响，这与搬家带来的其它一些短期的成本形成鲜明对比。一旦老人搬家，并且不管以后他还是否搬家，以后每年都会有一个固定的负效用。我给出了这个成本的一组值：0，0.1，0.2，和0.3。在前面建立的模型中，每个期间老人都会选择是继续住在现在的住房中，还是搬到另外的两种住房中去。如果他选择搬家，他就面临着这个模型中的流动性成本。决策过程不光要考虑这个期间的效用和搬家带来的流动性成本，更要考虑他的决策对他将来的预期效用的影响。我用动态的方法来对这个决策过程建模，决定出老人的最优决策。
让i代表现有住房状态，j代表现在的健康状况 ，k1和k2代表另外两种住房，h1 、h2、 h3代表三种身体健康状况。U（r，s）表示身体健康为r的人住在s住房里的效用，x（r）代表搬家的效用或者分离成本，（与健康r可能有关或者可能无关）。 q0（r，z，t）代表从t 年的健康状况r 变为t+1年的健康状况z的概率， qm（r，z，t）代表搬家了的情况下，从r 变为z的概率。V（r，z，t）代表价值函数，以下定义的。
现在考虑搬家所带来的效用成本和健康成本只持续一年的情况，没有搬家的分离成本。一个健康状况为j和住房类型为i的老人如果不搬家，在t年年初的总期望效用就为：
表示贴现率， 为遗产函数， 和 是t年的财富和总生活成本。如果老人搬到住房 中，则他的总期望效用变为：这个人将比较这三种住房的效用值并会选择效用最高的那个，表示为V（j，i，t）。
为了得出每期的最优选择，我使用了倒推法，从90岁开始往后推。我分析每一年健康状况和住房类型的各种可能组合，一共有九组，并求出每一组的最优决策。
但流动性成本持续两年的情况要复杂一点。在这种情况下，必须区分每个健康状况i和住房类型j的组合的两个不同的价值函数： 一为V1（i，j，t），代表年搬了家在t年仍然会受到影响的情况；另一个为V0（i，j，t），指的是在t-1年没有搬家，在t年的（i，j） 组合的效用。当t-1年未搬家，则最优的预期效用为V0（i，j，t），总期望效用为：
若老人t-1年搬家了，则上面的第二个表达式不变，但第一个表达式变为：
此时最优的预期效用为V1（i，j，t）。这里V0指的是他一直住在他65岁时的家中的价值函数。但如果他打算搬家，则他的效用为
这里x表示分离成本，V1为搬家后的价值函数。如果他已经不住在他65岁的住房中了，且不搬家，则他的效用为
如果他选择搬家，则效用为：
在这一部分，我总结了前一部分的模拟结果。最有趣的是，流动性状态和住房决策会随着流动成本大小的变化而变化。为了合理的测量出这种敏感度的大小，我考虑了流动性成本参数的一系列取值。然后，由于这些流动性状态和住房决策是我们主要的兴趣所在，我将主要考虑这些因素，因此就不怎么讨论关于效用和预期的价值函数的计算了。
由模型得出，当流动性成本为0时，老人的身体健康状况一发生变化，他就会搬家，这就叫做完全流动状态。图1 表示的是没有流动性成本时模型的一些模拟结果。假定有一65岁的身体健康并住在普通住房中的老人。这个图的前一部分表示搬家的概率，它是年龄的函数。尤其应注意的是，不管该老人是男还是女，该老人有生之年的每年搬家的条件概率，是在65岁的身体健康并住在普通住房的人数的基础上估计出来的，这些人的身体健康状况变化的概率见表1和表2。注意，搬家的概率随着年龄增长而增加。这主要是因为以下两个原因：一、随着年龄的增长，那些健康的老人生病的概率变大；2.年龄越大，越大比例的老人会生病。在解释这个和接下来的图时，要注意一个人可能搬家不止一次。该图表明每年的流动率为14%，高于老人的实际搬家率（接近7%，根据Feinstein和 McFadden（1989）得出）。
图1的下半部分表示的是老人住在普通住房、过渡性住房、社会机构住房中的百分比，这也是年龄的函数，并且男女分别考虑。我们可以看出，住在过渡性住房中的概率随着年龄增长而变大，表明随着年龄的增加，很多人都属于健康有点差的这类人，住在社会公共机构住房的概率增长得很慢，从较年轻时的1%仅上升到90岁的15%。
在讨论这些模拟时，我先讨论既有暂时的效用成本又有健康成本的模型的模拟结果，然后讨论那些既有分离成本又有健康成本的模型，并考虑一下模拟结果对效用元素（2，1）变化的敏感度。效用元素（2，1）是测量身体有点差的老人住在普通住房中时效用下降程度的一个重要参数。
先考虑既有暂时的效用成本又有健康成本的模型的模拟结果。图2表示了该模型的模拟结果。搬家的效用成本定在0.4 并持续两年，健康成本也持续两年，这个模型的流动性成本水平最高，因此与零流动性成本模型形成了鲜明对比。
图2的上半部分表明，这种情况下的流动性要比零流动性成本下的流动性低很多。较年轻的老人的流动性与零成本下的老人的流动性差不多，但这种情况下的流动性却没有随着年龄增加而平滑增长。相反的是，老年妇女的流动性逐渐下降，只在最后那几年里才陡然上升。但老年男性的流动性在开始几年会增加，在72岁时突然一下子降为零，然后在77岁时又从零急剧上升，但以后又一直下降。 图2的下半部分表示的是每一年住在普通住房、过渡性住房和社会公共机构住房的人数的百分比。 和图1中相对应， 住在普通的人的百分比随着年龄而降低，住在过渡性住房中的人的百分比随着年龄增加而增加。但与图1的显著区别是这种情况下老人住在社会公共机构住房中的概率在所有的年龄均为零。
年龄较小的老人，不管是男人还是女人，当他们身体开始变差的时候，总是会立即搬到过渡性住房中居住。但是，在74岁—78岁这个年龄段和87岁以后的年龄段，那些依然住在普通住房中的身体有点差的老年男性却不选择搬家。这解释了为什么74~77岁之间的老人的流动性非常低而在78岁时流动性却突然变大。所有年龄段的老人即使身体很差也不会搬到社会公共机构住房中去，住在过渡性住房中的老人即使身体变好也不会搬回到普通住房中去。这些事实都解释了为什么该模型下的流动性要比零流动性成本模型下的流动性低，并能让我们更好地理解流动性没有随着年龄增长而变大的原因。最后，对于老年妇女来说，她们在85~87岁这个年龄段不会搬家，因此流动性降低，在这个年龄段以后因为会搬到过渡性住房中去，所以流动性会加强。
虽然假定搬家带来的效用成本和健康成本只持续一年，或者效用成本不到0.4的模型中得到的模拟结果与以上讨论的模型的模拟结果有一些不同，但是所有的模型的模拟结果都有一个共同的特征，那就是随着流动性成本的增加，老年人口的流动性会减弱。但模拟的结果也表明要想大幅度地降低流动性的话，流动性成本必须非常的高。在我们刚才讨论过的模型中，流动性就要比零流动性成本模型下的流动性低很多，每年的平均流动性从大约14%降到了5%左右，5%与现实情况比较地吻合。但是，这个模型包括了很大的流动性成本：直接的效用成本是每年能得到的最高效用的40%，对身体很差的老人来说还不止40%，并且假定效用成本和健康成本都持续两年。显然，只有这样高的流动性成本才会产生出现实生活中的流动性状态。这里的隐含条件为 要小于可支配收入 。在第二种情况下，定义 为贷款占家庭住房资产的百分比（即家庭实际上只拥有 这个百分比的住房资产），如果家庭的消费小于每年的年金收入，那么家庭财富就应该为
如果家庭的消费大于每年的年金收入，那么家庭财富就为
其中第一项表示家庭真正拥有的那部分住房资产，第二项表示贷款的利息额，第三项表示净储蓄（贷款），该项等于年金收入与消费的差。如果 年搬家了，计算过程也是类似的，只是更加复杂一点。如果家庭搬到了普通住房或者过渡性住房中去（新住房状态表示为 ），则交易成本为 。那么出售住房得到的收入就为 （隐含条件： > 0），当原住房没有抵押贷款时， 。用 表示售出住房后的家庭财富，如果家庭原来的财富超过 ，则 为 ，否则 就为 。现在我们也必须按 是否超过 （即新住房的价值）来分两种情况讨论。若 超过了新住房的买价，那么 为
，
若 小于新住房的买价，那么 为
如果老人搬到社会公共机构住房中去，则当 超过 时， 等于
这里 应该不超过 。
如果 小于 ，则 为0（在模拟的时候，将其设为一个非常小的值）， 也为0。
最后，让我们讨论一下老人在 年初住在社会公共机构住房的情况。我假定，如果一个老人的财富与年金收入的和仍然小于 ，那么该老人就会一直居住在该社会公共机构住房中，成为社会的负担。在这种情况下， 为0， 也为0，并且老人不会搬家。若老人的财富超过 ，且不搬家，那么在 年年初时财富就为0和 （这里 的值应该不超过 ）之间的较大值。
如果她搬到住房类型 中，且 大于 ， ，那么 为 ；
如果 ，那么 为：
；
如果她的财富小于 ，那么 就应该为：
接下来，我将大致说明一下应该怎样对第一个模型中运用的方法做一扩展从而计算出第二个模型中老人的最优消费和住房决策。
第一个模型中， 表示老人现在的住房类型， 代表现在的健康状况， 和 分离代表另外两种住房类型， 、 和 代表模型汇总的三种身体健康状况。在第二个模型中，价值函数 不光由健康状况和住房类型决定，还将受到财富的影响，并表示为 ，这里 表示 年年初时家庭所拥有的财富。
在第二个模型中，老人要就住房类型和消费水平等做出决策。为了得到老人的最优住房选择和消费水平，最好分两步来解决这个问题。第一步，依次考虑每一种住房类型，并计算出每种住房类型所对应的最优消费水平。因此，这三种住房类型的暂定价值函数就为：
这里 =1,2， 为 年年初所拥有的财富，它由 决定，并分别计算出这三种住房类型对应的 的值。 为搬家的效用成本，这在前面已经定义过了。第二步，比较 、 和 这三者的值，然后选取最大的那个数值；消费取能使以上表示式取最大值的消费值。
若模型中的流动性成本持续不止一年或者还考虑了分离成本，计算方法也与以上的方法类似，这里就不赘述了。
这部分将对第二个模型的模拟结果进行分析。首先分析只有金融交易成本但没有流动性成本时的模拟结果。然后分析有流动性成本时的模拟结果，这其中也先讨论有暂时效用成本和健康成本时的模拟结果，然后再讨论既有健康成本又有永久性的分离成本时的模拟结果。最后，我还分析了模拟结果对遗产函数、效用公式、房屋未来价格上涨率中参数值的变化的敏感度。然后我将该模型的模拟结果与第一个模型的模拟结果进行比较分析。
该模型的模拟结果与第一个模型的模拟结果很吻合。它们都表明，流动性成本对流动性的影响很大，搬家时是否会带来短期的效用成本或者长期的分离成本对流动性的影响是不一样的，过渡性住房对老年人口来说显得非常重要，尤其是在年龄非常大时，在一些模拟中，该种住房甚至成为了人们在去世之前将一直住下去的住房类型。
图4表示的是流动性成本仅为普通或者过渡性住房售价的6%时的模拟结果。它假定一位在65岁时身体健康并住在普通住房中（拥有完全产权）的老人，他的住房价值为 ，并且还拥有 的流动性资产。该表的上半部分表示每个不同年龄的老年男性和女性各自的平均搬家率。老年男性和老年女性在65岁时的流动性均为6%左右，并随着年龄而逐渐增加，在80岁多一点时达到最大值（女人为15%，男人为17%），然后便急剧下降。该表的第二部分表示，住在普通住房、过渡性住房和社会公共机构住房中的老年人口的百分比，它是年龄的函数。正如预料的那样，住在普通住房的老年人数的百分比随着时间而逐渐地下降，从约100%几乎降为0%，住在过渡性住房的老年人数的百分比随着时间而逐渐地上升，从约0%几乎上升到100%，住在社会公共机构住房的老年人数的百分比随着时间的变化上升得很慢，65岁时该百分比约为0%，接近90岁时的百分比还不到10%（从90岁开始该百分比会下降）。该表的第三部分表示的是消费在财富中所占的百分比。从中可以得出，老年男性和老年女性65岁时的消费的百分比均为12%，然后随着年龄增长而下降，大约降为90岁时的6%；老年女性在年龄较小时的消费百分比要大于男性消费的百分比，但随着年龄的增长，他们的百分比差不多。
图4的一、二部分可以直接和图1的两部分相比较，图1中表示的是第一个模型下当流动性成本为0时的模拟结果。唯一的一个显著区别为在第一个模型中，流动性随着年龄的增长而单调增加，而在第二个模型中，流动性是先增加，在年龄很大时又下降。
为了更好地理解图4中的图的形状，我们要注意以下几点：首先，在流动性为0的模型中，老人在健康状况发生变化时会马上搬到最优的住房类型中去，因此金融交易成本本身并不会使流动性降低；其次，老人之所以不愿意搬出普通住房，是因为他们想将更多的资产以储蓄的形式持有，因为这样回报率更高（为2%，而住房的回报率为1%）。当老人几乎没有什么财富时，他们一般都不会搬入与他们的健康状况最匹配的住房中去，如果在这种情况下，他们选择了搬家，那么他们一般都是搬入社会公共机构住房中去，由于他们所有的财富都已经耗尽了，所以也就成为了社会的累赘。
与老年人口消费决策有关的结论有：对于大部分老人来说，他们在许多年份的消费都只是比年金收入稍稍多一点。主要的原因是为了给后代留下遗产，因为遗产对总效用有很大的影响。实际上，遗产的重要性也一方面解释了随着年龄的增长消费在财富中所占的百分比也逐渐下降的原因：当老人的年龄非常大时，他们预期自己的寿命已经不是很长了（回想以下，我们在模型中已经假定所有的老人都最多活到91岁），因此他们更愿意把财富储存下来作为遗产留给后代，而不是把这部分财富消费掉。另一个原因是许多老人在晚年时身体都非常不好，疾病缠身，因此消费带来的边际效用也大大降低。最后一个原因是老人希望把财富储存下来以用来支付搬家的交易成本或者是住在社会公共机构住房中的费用。
模型的模型结果也提供了关于财富、流动性和住房三者之间相互关系的信息。以老年男性为例。在68岁时，他们的平均财富为﹩229000，这比65岁时的平均财富低﹩21000。在这个年龄，那些搬过家的老人的平均财富为﹩227000，那些住在普通住房中的老人的平均财富为﹩229000，那些住在过渡性住房中的老人的平均财富为﹩234000。在80岁时，平均财富下降到﹩213000，那些搬过家的老人的平均财富为﹩209000，那些住在普通住房中的老人的平均财富为﹩207000，那些住在过渡性住房中的老人的平均财富为﹩207000。值得注意的是，那些住在过渡性住房中的老人的平均财富最高，一部分原因可能是因为对这些老人来说，消费的边际效用要比那些身体健康的并住在普通住房中的老人的边际效用低。对老年妇女的模拟结果与此类似，所以这里就不详述了。
接下来讨论在第二个模型中除了金融交易成本，搬家同时也会带来短期的效用成本和健康成本（效用成本和健康成本均持续两年）时的模拟结果。对健康成本的估值与第一个模型中的估值相同。当效用成本定为0.4时（与图2所对应的模拟中的数值相当），模拟结果表明此时没有流动性。显然，如此高的健康成本、金融成本和效用成本使所有老人都决定不搬家了。当效用成本定为0.2时，有流动性，这也正是接下来我所要详细论述的。
图5表示出了有两年效用成本且其值定为0.2（当然也还有健康成本和金融成本）时的模拟结果。有趣的是，该模型得出的流动性状况（见图5前一部分）与第一个模型中当效用成本为0.4时的流动性状况（见图2前一部分）非常类似。在这两个模型中，老年男性在65岁到70岁出头之间的流动性约为6%，过了这个年龄段，流动性就突然降为0，然后在短短一年中又突然上升为25%，在紧接着的第二年，又突然降到10%以下，其后便一直下降，但在90岁时又急剧上升。而且该现象在其它模型的模拟结果中也表现得很明显。对于老年妇女来说，流动性变化的幅度要小一些，在65岁与80岁之间始终保持在约6%的水平上，然后便开始平滑地下降，直到90岁时才又急剧上升。图5的第二部分表示的是分别住在普通住房、过渡性住房和社会公共机构住房中的老人的百分比，这是一个关于年龄的函数，它也同样和图2中对应的部分相类似。图5的第三部分表示的是消费在财富中所占的平均百分比，这也是年龄的函数，且男性和女性分别讨论。与图4的对应图表中反映的情况一致，老人消费在总财富中的百分比随着年龄增加而减少，且女性对应的百分比要高一些，尤其是在年龄相对来说比较小的时候。
对模拟结果的进一步分析告诉我们，老人通常都只从普通住房中搬到过渡性住房中去，当然这其中隐含着当老人健康状况开始由好变坏这个条件。没有人会搬到社会公共机构住房中去，只有在财富水平非常低且老人采取"破产"这个策略（这在前面已经论述过）时才会偶有发生。而且即使老人健康状况变好，他们也都不会从过渡性住房中再搬回到普通住房中。
因此，正如第一个模型得出的结论一样，老人将在过渡性住房中一直居住下去，直到死亡为止。这表明了将第一个模型扩展之后，即将经济变量和决策等因素考虑在内的第二个模型的模拟结果同样也表明了过渡性住房的重要性。
这两个模型都表明，老年妇女的消费在总财富中占的百分比要比老年男性的消费在总财富中占的百分比高一些。这可能是因为男人相对于女人来说死亡的概率要大一些，因此更愿意将更多的财富储存起来作为遗产留给后代。因此遗产所带来的效用非常高，因此遗产带来的边际效用要比消费的边际效用高，男人更倾向于将他们的财富储存起来。
图6中表示的是既有分离成本又有健康成本的模型的模拟结果。该模型的分离成本设为0.2，健康成本只持续一年（这与图3所对应的第一个模型中的参量设定值差不多）。图6的第一部分表明，男人直到80岁时才会搬家，其后他们的流动性急剧增加，并且该流动性水平将持续好几年，这是因为那些居住在不匹配住房中的老人的流动性都释放出来了，然后流动性又会下降到一个适当的水平。老年妇女从77岁起才开始搬家，然后流动性在一年之内急剧上升，其后便逐渐下降到一适当的水平。这些流动性状况与图3的第一部分表现出来的流动性状况非常相似，只是图6中流动性的起始时间比较晚。图6的第二部分表示的是分别住在那三种不同的住房类型中的老年人口所占的百分比，这也与图3中对应的图表相类似。图6的第三部分表示的是消费在总财富中所占的平均百分比，与图4和图5中该百分比的情况相一致，它随着年龄增加而减少，在这个模型中，它从12%多降低到约6%，且老年妇女的消费在总财富中占的百分比要比老年男性的消费在总财富中占的百分比高一些。
本文得出了一些非常有意思的结论。最重要的是，我发现，包含了多种流动性成本在内的经济模型的模拟结果与现实生活中的流动性水平非常吻合。另外，分析还表明了过渡性住房的重要性，因为大部分老人在去世之前都将一直在该种住房中一直居住下去。
我相信我们还可以沿着几个方向进一步展开分析。把住房类型不止分为三种，可能分成更多的类型，从而与现实更加贴近。一种方法就是定义一系列的住房属性，其中包括建筑式样变量、地理位置变量和公共医疗卫生服务变量。 每一组变量就对应着一个可行的住房选项。如果给每一个属性估价，那么就可以用第四部分中的分析框架来分析这个模型。
第二个扩展方向是将未来的住房价格的不确定性考虑在内。第三个扩展方向就是改进对健康状况的定义，将变老的过程分成好几种典型的状况，且每一种状况都对应着一个决定于健康状况和住房类型的匹配情况的效用函数。
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