利率风险是反向抵押贷款开办的一重要因素,本文对此给予深入的探讨。
我们建立了一个价值模型，用它来定量分析固定利率反向抵押贷款中的利率风险。与直觉一致，我们的测算结果显示反向抵押贷款的利率风险比任何一种公债或者抵押贷款都大。令人惊奇的事，我们发现这种利率风险的差异性非常大。事实上，反向抵押贷款的利率风险比其他固定收入保障品种大几倍。
一、前言反向抵押贷款实质上是一种金融合同，它允许房屋持有者在仍然拥有房屋的居住权的基础上消费房屋部分的权益价值。在一个典型的反向抵押贷款的合约中，一般明确规定在一定时间内向房屋持有者支付约定价款，包括本金和增长利息在内。当借款人不再拥有房屋的时候，这笔贷款到期。
与传统抵押贷款相比，反向抵押贷款的贷款机构只需要一小笔初始投资，也就是给借款人一个月的应支付额。累计贷款余额增长刚好与传统抵押贷款相反。反向抵押贷款的小额初始投资其实是不确切的。如果市场利率高于反向抵押贷款的固定利率，它会制造出大量表外债务。反向抵押贷款还会使得贷款机构要面对利率风险引起的实际价格的波动。
对于金融机构的投资者和管理者来说，理解和测量利率风险是非常重要的。对于银行领导阶层来说也一样重要。在1987年，巴塞尔银行规范和监管委员会制定了银行风险资本标准。这些标准强调信用风险，但忽视了利率风险。然而，这种状况在将来很可能发生变化，通货审计办公室目前正在把利率风险加到这些资本标准当中。
我们的主要目的是帮助金融机构的投资者和管理者，更清楚地认识反向抵押贷款的利率风险。我们建立和应用一个价值模型来定量分析反向抵押贷款的利率风险。与其它固定收入保障品种相比，我们发现反向抵押贷款的利率风险要高得多。
二、反向抵押贷款反向抵押贷款一般有三种支付形式：(1)定额支付（每月定额支付一笔款项，直到借款人过世为止）。（2）定期支付（确定合同期限，在合同期内持续支付）。（3）确立总信用额度（确定支付总额做一次性支付）。贷款直到借款人死亡、搬出或者出售房屋之后中止。
即使支付完结，这笔贷款一般也直到借款人不再拥有房屋之后才能中止。余额按照约定利率增加。房产一般都在升值，但这种升值速度可能比贷款的约定利率低。因此，将来某个时间点的余额很可能超过升值价值，这将导致贷款机构 附加一笔新的损失。
在HUD（美国房地产和城市开发部）的一个项目中，FHA（联邦住房管理委员会）将给贷款机构提供保险，以抵御可能发生的应付贷款余额超过贷款到期时的房产净升值的风险。 这个保险措施避免了贷款违约的发生。这个保险是可选的，贷款机构可以选择投保全部或者部分险。
有些反向抵押贷款设定有"分担保障"条款，贷款机构在房屋出售时取得利息。如果房屋出售价值超过贷款，按照事先确定公式，超出部分在房屋持有者和贷款机构之间分配。浮动利率反向抵押贷款也是可行的。像其他浮动利率贷款一样，反向抵押贷款的利率也可以与市场利率保持协同。
出于编制金融报表的目的，贷款机构一般把贷款余额记为资产。未来贷款机构的支付不会显示在金融报告中。因此，反向抵押贷款增加了表外债务。即使贷款机构没有取得现金流，贷款机构的利息收入也需要征税。借款人需承担的所有利息都在贷款得到支付时予以确认，不允许扣除所生利息。
三、反向抵押贷款利率风险测量固定利率反向抵押贷款和其他固定收入保障的金融品种，在某些方面是相似的。和它们一样，反向抵押贷款的价值会受到当前市场利率和未来利率变化的影响，此外还受到借款人可能在利率下降时再融通贷款的影响。
反向抵押贷款与其他固定收入保障品种有两方面不同：
（一）违约风险的实质
反向抵押贷款的余额，随着时间推移是递增的，不像传统抵押贷款或者债券的余额是随着时间推移呈现下降趋势。如果反向抵押贷款不给予保险时，将会导致贷款机构面对潜在资产的价值（房产），在贷款到期时不足于支付抵押贷款。因此，违约风险将会增加而不是减少。
违约风险增加的问题会由于合同条款的制订而加剧。定额抵押贷款中，只要借款人还住在房子里，就必须对其每月进行房款支付。在定期抵押贷款中，尽管在固定期限末会中止贷款支付，但贷款必须等到房屋持有者不再在该房屋中居住后会得到偿付。不像其他固定收入保障品种，本种合同没有提前中止的条款。
考虑到房产升值速率低于反向抵押贷款利率的可能性。如果借款人非常健康且居住了很长时间，那么贷款总额将会超过房屋价值，这将导致贷款机构在贷款支付时会有部分拖欠。如果有"分担保障"条款，那么房屋增值速度就变得更加重要，因为贷款机构的部分期望回报取决于反向抵押贷款到期时的房屋价值。
不幸的是，这里有一个道德风险的问题。房屋持有者是否有金融支持对房屋进行改善和维护。换句话说，合约本身极大的影响房屋的升值速度。即使借款人愿意维护房屋，借款人未必有这个能力。毕竟这些借款人的年龄一般都比较老而且很需要钱，不可能拿出太多的钱财用于房屋的维修。
（二）"不可预期的终止"的可能性
举一个定期反向抵押贷款的例子：借款人可能在固定期限之前不再在这个房屋居住，可能搬迁、死亡或住进护理院。不管怎么样，此时贷款必须偿付。因此，这个期限其实并非真正的固定，它可能很长也可能极短。
如前所述，反向抵押贷款的价值应该是利率环境（包括所有贷款预付条款）、房屋价值和不可预期终止的可能性。房屋价值风险非常重要，但其他测量利率风险也很重要。因此，我们假设反向抵押贷款都是有保险的，而且没有"分担保障"的条款。
反向抵押贷款不像现金流模型和时间序列的传统保障品种。接下来我们分析反向抵押贷款的利率风险与其他固定收入保障品种的相关性。第一部分从假设随附加期限转变的固定期限开始。第二部分做扩展分析，分析基于Cox. Ingersoll和Ross模型的更接近现实的期限。
三、期限固定并随附加期限转换的利率风险在这部分，我们假设反向抵押贷款的期限结构固定，市场利率是8%，且贷款期限只随固定附加期限做转变。然后在下一部分再对本假设条件放宽。
举一个简单例子，某金融机构分别以公债、一般抵押贷款和反向抵押贷款的形式借出基金，每个产品都有一个固定10年期限和固定约定利率。尽管期限和利率都一样，公债现金流模型与一般抵押贷款和反向抵押贷款很不一样。对面值100美元、利率8.13%的公债，债权拥有者开始付给借款人100美元，然后接受20次，一年两次的4.01美元的利息回报和第十年末100美元的本金。对于100美元利率8%的一般抵押贷款，抵押贷款所有者支付给借款人100美元本金，然后接受120次每月1.21美元的利息支付。注意，8.134%的公债利率与8%的抵押贷款利率相等，因为，债券一年付两次，抵押贷款一月只付一次。
利率8%的反向抵押贷款的现金流模型则完全不同。合约初始，贷款机构只需支付1.21美元给借款人。对于接着的119个月的每个月，贷款机构继续每月支付1.21美元给借款人。在第10年末，贷款机构收到221.96美元（注意，221.96美元是以利率8%投资的100美元的远期价值）。
这三种合约对于贷款机构来说都是未来现金流的现期价值，按照市场利率8%贴现。过了合约初始，公债和一般抵押贷款的价值是100美元。而反向抵押贷款的实际价值是1.21美元。
假设公债和普通抵押贷款是贷款机构的唯一资产，且唯一的负债是当前市值190美元的金融债务。贷款机构的净资产（E）是资产价值（A）和负债价值（L）的差值，如下所示：
E=A-L=100+100-190=10 (1)记r为市场利率，Ar与Lr的差值表示贷款机构对利率的敏感程度。许多贷款机构通过套利机制来规避利率风险。对套利机制的探讨已经超过这篇论文的范围，但有一种常用的规避方式就是买进金融期货合约，合约价值波动（Fr）刚好与Er(Ar-Lr)相等。
假设贷款机构把负债增加到191.205美元，并将其中的1.205美元投资反向抵押贷款。公式(1)变为：E=A-L=100+100+1.205-191.205=10 (2)尽管净资产价值没有变，但风险程度发生了变化。考虑到反向抵押贷款的小额市值，可能错误认为在控制利率风险时，能轻易规避反向抵押贷款带来的风险，那将和下面的例子一样犯个大错误。
表一是三种资产市场利率下的价格。在8%的市场利率下，三种资产按照票面价值定价。如果利率下降到7%，三种资产价值都上升。反向抵押贷款上升6.06(7.25-1.21)，公债和普通抵押贷款分别上涨7.30和4.50。注意，反向抵押贷款的增加值和另外两种都差不多，尽管另外两种金融产品的价值是反向抵押贷款的近100倍。这说明初始投资的每一美元的风险程度不一样，反向抵押贷款要大得多。在下一节，我们将证明，即使在多次投资之后，反向抵押贷款的风险仍然会大很多。
表一 固定收入保障品种价格| 当前市场利率 | 价格 | 反向抵押贷款 | |
| 公债 | 普通抵押贷款 | ||
| 7% | 107.30 | 104.50 | 7.25 |
| 8% | 100.00 | 100.00 | 1.21 |
| 9% | 93.31 | 95.78 | -4.11 |
| 每种固定收入保障品种都是10年的期限 | |||
| A:三种资产的价格和波动幅度 | ||||||||
| 公债 | 普通抵押贷款 | 反向抵押贷款 | ||||||
| 价格 | 波幅 | 价格 | 波幅 | 价格 | 波幅 | |||
| 100.00 | 7.03 | 100.00 | 4.38 | 1.21 | 472.86 | |||
| B:套利风险测量：市场利率下的价格派生性 | ||||||||
| 公债 | 普通抵押贷款 | 反向抵押贷款 | 年金 | 最后支付 | ||||
| -8379.66 | -5226.19 | -6793.68 | 5126.85 | -11920.53 | ||||
| 注：每种品种都是10年期限，波幅按照麦考利波幅公式计算。年金和最后支付把反向抵押贷款的现金流按照两种独立的流动方式分为两部分。 | ||||||||
贷款机构如何控制反向抵押贷款的利率风险呢？麦考利波幅公式是风险的标准测量公式。它是一种弹性测量工具，表二的A部分反映了三种资产的波幅。
附：麦考利波幅公式 D=[∑(-tCFt)/(1+r)t]/P公式中：D—波幅（期间） CFt—随时间t的现金流 P—品种价格
理解反向抵押贷款风险的最好方式，是把它视为一种包含资产和负债的有价证券。资产是最后的支付，负债是贷款机构对借款人的每期的固定年金支付。反向抵押贷款被独立的分为两部分。这能解释为什么反向抵押贷款的利率风险会如此之大的原因。资产和负债对利率的敏感程度很不一样，反向抵押贷款的资产价值对市场利率非常敏感，而负债价值对利率不敏感。
现在返回到起先的问题，为什么金融机构要测量和控制反向抵押贷款的利率风险呢？一种解释是反向抵押贷款分为对利率敏感程度很不一样的资产和负债两部分。由于反向抵押贷款的初始投资小，机构很可能简单地把它们加到其他资产和负债中，并使用同样的测量风险和控制方法加以管理。
第二种解释就是直接结算套利机制中所需要的利率敏感性的测量。套利目的风险的正确测量公式是dP/dr，这是关于利率的价格派生品。将其表示为dP/dR显得更为便利，R是名义利率。这样风险测量公式就变成：dP/dR=∑(-tCFt)(1+r)t+1 (3)表二的B部分反映了三种产品的套利风险。注意它们的期限都一样，都是10年期限。因此，我们在看到表一反向抵押贷款价格的大幅变动并不必惊奇。
四、更符合现实的价值模型前一部分的结实非常有用，但过于简化，反向抵押贷款的期限结构并没那么简单。而且，反向抵押贷款本身是一种非常复杂的产品，它易受再融资预付或借款人死亡的影响。在这一部分，我们建立和应用一种新的价值模型来测量反向抵押贷款的利率风险。在更符合现实的期限结构和更实际的预付行为下。下面是我们测量利率风险的假设条件：
1.现期无风险利率符合Cox，Ingersoll和Ross(CIR)公式随机过程：
dr=β(μ-r)dt+σ√rdr (4)公式中，F(t)表示未付的贷款余额，C表示反向抵押贷款的现金流。
在期限内的某个时间，抵押贷款的价值必须等于未付余额，无穷利率下这个价值趋向为0。趋向边界条件如下所述：
假设在一般的反向抵押贷款借款人的年龄和环境条件下，部分预付款是不可能发生。但有可能在市场条件有利的情况下，借款人将对反向抵押贷款进行再融资。这对贷款机构来说，等于给了借款人一个可以按照与贷款余额相等的购买价格进行购买的购买选择权：
寻找反向抵押贷款价格需要解出在公式（6）的边界条件下的差值公式（5）；如果反向抵押贷款可以随时支付，公式的解还取决于公式（7）。
我们的最初目的是在相同期限结构内比较反向抵押贷款的相对利率风险。对于模拟余项，我们可使用Dunn和McConnell(1981)的数据：β=0.8，μ=0.056，σ2=0.008和λ=-0.247.市场利率 | 公债 | 普通抵押贷款 | 反向抵押贷款 | ||||||
价格 | 套利 | 弹性 | 价格 | 套利 | 弹性 | 价格 | 套利 | 弹性 | |
1% | 111.51 | -446.03 | 0.02 | 110.16 | -220.31 | 0.01 | 3.32 | -92.90 | 0.14 |
3% | 108.06 | -1080.59 | 0.05 | 107.12 | -856.98 | 0.04 | 2.38 | -237.78 | 0.57 |
4% | 106.38 | -1276.54 | 0.06 | 105.64 | -1267.70 | 0.06 | 1.94 | -356.04 | 0.92 |
5% | 104.73 | -1675.60 | 0.08 | 104.18 | -1458.56 | 0.07 | 1.50 | -431.42 | 1.44 |
6% | 103.10 | -1855.78 | 0.09 | 102.75 | -1643.94 | 0.08 | 1.07 | -505.51 | 2.36 |
7% | 101.50 | -2232.98 | 0.11 | 101.33 | -2026.64 | 0.10 | 0.66 | -575.09 | 4.39 |
8% | 99.93 | -2398.22 | 0.12 | 99.94 | -2198.68 | 0.11 | 0.25 | -640.50 | 12.81 |
10% | 96.86 | -3099.46 | 0.16 | 97.22 | -2722.10 | 0.14 | -0.53 | -760.02 | -7.17 |
15% | 89.62 | -4122.47 | 0.23 | 90.77 | -3812.34 | 0.21 | -2.31 | -997.49 | -2.16 |
20% | 82.96 | -5143.33 | 0.31 | 84.80 | -4579.09 | 0.27 | -3.86 | -1159.20 | -1.50 |
注：每种品种都是10年期限。套利是指关于利率的价格派生品，弹性是指关于利率的价格弹性 | |||||||||
表三显示公债、普通抵押贷款和反向抵押贷款的价格是现期利率的函数。每种品种的合约利率是8%；每种都不可以随意购买，每种的期限都假设10年。特别的，如果利率足够高，反向抵押贷款的市场价值可能无效。换句话说，反向抵押贷款可能导致其表外债务比资产更高。
表三还显示套利中的风险测量（dP/dR）和弹性（定义为价格波动的百分比）通过利率的百分比变化得以区分。在弹性测量的基础上，表三显示反向抵押贷款比其他两种对利率的敏感性要强的多，假设当前利率为8%，反向抵押贷款的弹性达到12.81，而其他两种分别是0.12和0.11。市场利率如超过8%，反向抵押贷款的弹性甚至超过其他两种产品的100倍。正如表三所示，反向抵押套利小于其他两种产品，尽管他们期限相同。事实上，相对于反向抵押贷款，这些套利的派生品是非常巨大。
反向抵押贷款的高利率风险不仅因为是小额价格，表四显示五年之后价格消失，其实反向抵押贷款有一个比票面价格高出很多的潜在价格，这是可以预期的。当接近贷款合同期末时，无效现金流存在的数额会减少，最终的积极支付将导致更接近于实际。这个价格超过普通抵押贷款，尽管它的总额按照递增利率减少。关于利率风险，反向抵押的弹性仍然比其他两种大得多，套利派生值也比其他两种大得多。
表五 反向抵押贷款在发行时的价格表
| 市场利率 | 不能预付，不能随时偿还 | 不能预付，可随时偿还 | 可预付，不能随时偿还 | 可预付，可以随时偿付 | ||||||||
| 价格 | 套利导数 | 弹性 | 价格 | 套利导数 | 弹性 | 价格 | 套利导数 | 弹性 | 价格 | 套利导数 | 弹性 | |
| 1% | 3.32 | -92.90 | .14 | -.02 | -62.16 | .-20.72 | 3.04 | -85.04 | .14 | .25 | -17.20 | .34 |
| 3% | 2.38 | -271.78 | .57 | -.66 | -197.40 | -1.50 | 2.21 | -239.00 | .54 | -.14 | -152.15 | -5.32 |
| 4% | 1.94 | -356.04 | .92 | -.99 | -265.05 | -1.34 | 1.82 | -312.52 | .86 | -.41 | -217.34 | -2.67 |
| 5% | 1.50 | -431.42 | 1.44 | -.13 | -32.98 | -1.25 | 1.43 | -383.24 | 1.34 | -.68 | -278.66 | -2.04 |
| 6% | 1.07 | -505.51 | 2.36 | -1.65 | -391.99 | -1.19 | 1.05 | -446.47 | 2.12 | -.96 | -337.40 | -1.75 |
| 7% | .66 | -575.09 | 4.39 | -1.97 | -449.39 | -1.14 | .69 | -509.64 | 3.72 | -1.25 | -393.74 | -1.58 |
| 8% | .50 | -640.50 | 12.81 | -2.29 | -508.60 | -1.11 | .33 | -567.24 | 8.70 | -1.53 | -448.94 | -1.47 |
| 10% | -.53 | -760.02 | -7.17 | -2.91 | -611.73 | -1.05 | -.37 | -673.06 | -9.22 | -2.08 | -545.22 | -1.31 |
| 15% | -2.31 | -997.49 | -2.16 | -4.36 | -819.49 | -.94 | -1.95 | -887.38 | -2.28 | -3.39 | -745.14 | -1.10 |
| 20% | -3.86 | -1159.20 | -1.50 | -1.50 | -959.65 | -.85 | -3.33 | -1039.90 | -1.56 | -4.56 | -885.22 | -.97 |
注：各种品种期限都是10年 | ||||||||||||
我们模拟可随时支付的受非预期终结影响的反向抵押贷款的价格，表五显示这个结果。正如预期的那样，购买选择权对价格有很大的负面影响。这就是说为什么购买选择权只是在当前利率低于贴现利率的时候实施，这种状况对贷款机构是很不利的。
市场利率 | 定期抵押贷款（每月定期支付，直至合同终止） | 十年期抵押贷款 | ||||||||||
不能随时偿还 | 可随时偿还 | 可预付，不能随时偿还 | 可预付，可以随时偿付 | |||||||||
价格 | 套利导数 | 弹性 | 价格 | 套利导数 | 弹性 | 价格 | 套利导数 | 弹性 | 价格 | 套利导数 | 弹性 | |
1% | 2.18 | -56.71 | .13 | -.03 | -40.38 | -6.31 | 3.04 | -85.04 | .14 | .25 | -17.20 | .34 |
3% | 1.64 | -157.73 | .48 | -.43 | -119.56 | -1.40 | 2.21 | -239.00 | .54 | -.14 | -152.15 | -5.32 |
4% | 1.38 | -204.83 | .72 | -.63 | -159.00 | -1.27 | 1.82 | -312.52 | .86 | -.41 | -217.34 | -2.67 |
5% | 1.13 | -249.04 | 1.10 | -.82 | -195.87 | -1.19 | 1.43 | -383.24 | 1.34 | -.68 | -278.66 | -2.04 |
6% | .89 | -292.05 | 1.65 | -1.02 | -232.10 | -1.14 | 1.05 | -446.47 | 2.12 | -.96 | -337.40 | -1.75 |
7% | .65 | -332.82 | 2.58 | -1.21 | -266.20 | -1.10 | .69 | -509.64 | 3.72 | -1.25 | -393.74 | -1.58 |
8% | .41 | -370.72 | 4.51 | -1.40 | -299.17 | -1.07 | .33 | -567.24 | 8.70 | -1.53 | -448.94 | -1.47 |
10% | -.04 | -442.80 | -54.00 | -1.76 | -356.13 | -1.01 | -.37 | -673.06 | -9.22 | -2.08 | -545.22 | -1.31 |
15% | -1.07 | -579.42 | -2.70 | -2.61 | -474.47 | -.91 | -1.95 | -887.38 | -2.28 | -3.39 | -745.14 | -1.10 |
20% | -1.98 | -676.82 | -1.71 | -3.35 | -556.60 | -.83 | -3.33 | -1039.90 | -1.56 | -4.56 | -885.22 | -.97 |
注：各种品种期限都是10年 | ||||||||||||
在检验受非预期终结影响的反向抵押贷款的时候，我们发现终止合同倾向于包括可能价格的所有范围。非预期合同终止的发生，对贷款机构有利也有害，这不像购买选择权只对贷款机构有害。当利率很低时，这对贷款机构有利。低利率下的资产价格导致的提前支付特征，要比一般的反向抵押贷款为弱。当利率很高时，则对贷款机构很不利。
在同时存在购买选择权和非预期终结行为的时候，贷款资产的价格通常比一般反向抵押贷款要低。但要比只有购买选择权的情形为高，比只有非预期终结情形下要低。然而，这个价格不仅仅是两个因素的线性组合。表五清楚地反映了对金融机构非预期终结的风险是主要因素。
表六显示了10年期的定额抵押贷款的价格。在低利率下，定额抵押贷款的价值要比10年短期抵押贷款要低，这和经济假设是一致的。贷款机构因长期面对一个不利的经济环境。定额抵押贷款在低利率下，风险也很低；高利率下情况则刚好相反。
给定一个市场利率，存在一个贴现利率，在此利率水平下有价证券能按照票面利率发行。表七显示反向抵押贷款、普通抵押贷款和公债的合同利率。
五、结论反向抵押贷款市场增长的相对缓慢，可归因于：（1）潜在贷款机构和借款人对这种产品尚不很熟悉；（2）贷款合约设计不标准；（3）缺少相应的保险机制。然而，就像这篇文章阐述的那样，还有一个巨大的障碍阻碍着这一市场的扩大：固定利率的反向抵押贷款有很高的利率风险，这对于很多金融机构的套利尝试是很不利的。
文中的主要研究结果证明了反向抵押贷款具有巨大的利率风险。事实上，反向抵押贷款的利率风险要比传统产品大很多。除非金融机构正确测量反向抵押贷款的风险，并且采用合适的套利工具规避风险。否则，他们很可能遭受无法预期的损失。投资者和管理者也应该认识到这个风险，要不然反向抵押贷款会大幅增加表外债务。
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