柴效武 个人专栏

风险与住房资产反抵押贷款- -

                                      

住房资产反向抵押贷款的推行,是困难重重,原因就在于其中蕴涵的不确定性与风险过多过大。本文对此给予了较为深入的探讨。

风险与住房资产反向抵押贷款

Edward J. Szymanoski，Jr.*

这篇论文分析了反向抵押贷款保险中的风险，并解释了住房反向抵押贷款（HECM）的定价模型。文中表明了借款者的寿命、利率和住房价值的变化都会影响定价，并解释了为什么住房价值的变化是引起HECM 模型中的不确定性的主要因素。文中还解释了选择随机游动（随机走动一系列的顺次运动，每次运动的方向和大小是随机确定的）方法来预测住房价值的原因，并说明了贷款的本金限额（支付给借款者的现金）的计算方法。

住房资产反向抵押贷款（HECM）保险实证研究(关于HECM实证研究和一些早期项目的经验的详细论述，请参考由住房与城市发展部递交给国会的两篇报告：《住房资产反向抵押贷款保险：给国会的临时报道，1990》和《对住房资产反向抵押贷款保险的初步评估，1992》)，也称作联邦住房管理委员会（FHA）反向抵押贷款项目， 是国会于1987年为了以下的目标而发起的：允许住房资产转换为流动资产从而满足老年户主的特殊需求；鼓励更多的人参与到住房资产向流动资产转换的一级和二级贷款市场中；测量对住房资产反向抵押贷款需求的程度和能最好地满足老年户主需求的住房反向抵押贷款的类型。

美国住房与城市发展部（HUD），政策发展和研究办公室，华盛顿D.C.，20410

国会明确指出了HECM实证研究必须包含的一些特征，尤其是消费者保护，但把主要的设计任务留给了联邦住房管理委员会的上级机构——住房与城市发展部，是国会做出的一个明智决定。 反向抵押贷款设计的法令通常会无意间就成为法律的阻碍。举例来说，一个新泽西的法令本来是希望成为对这个州的反向抵押贷款消费者的保护法律，它要求每月固定地支付一笔贷款给借款者，并将贷款期限定为10年，贷款与住房的比率限定在70%以上。这三个条款与联邦住房管理委员会项目相矛盾，从而使该法令成为了新泽西州的贷款机构执行项目时的法律阻碍。如果联邦法令也包括这些类似的条款，那么联邦住房管理委员会的许多项目就不可能创新了。住房与城市发展部中，经济事务办公室（OEA）是设计工作的带头者。

因为是一次实证研究，因此HECM被归在联邦住房管理委员会的保险总额（保险总额）中，保险总额包含了联邦住房管理委员会的许多补助贷款保险项目。 虽然HECM本身并不是一个补贴项目，但HECM也被恰当地归类在保险总额中，这是因为它代表着贷款保险的一种新概念，是不能用以前的经验来进行定价的。 它需要构建一个用来测量风险的系统， 和一个建立在合理的虽未经验证的假设基础上的定价模型，来证明这个项目是可以自助完成的。这篇论文介绍了风险分析的系统以及OEA为HECM实证研究所设计的定价模型。

给HECM保险定价

在给HECM保险定价时要解决的一个主要问题是，要根据贷款开始时的信息来对将来的贷款余额和住房价值进行预测。和传统的或者以前的抵押贷款的定价相比， HECM，和所有的反向抵押贷款一样，是一个债款逐渐增加的工具。未收回余额会随着定期支付给借款者的本金、应计利息和其它贷款费用的增加而增加。一些贷款的贷款额可能最终会超过住房的价值，从而使贷款者蒙受损失。即使住房价值也上升，但因为贷款增加的幅度一般都比住房价值上升的幅度要大，这些损失仍然可能发生。传统的抵押贷款保险，损失一般都是由资产价值的下跌和不增加的贷款余额引起的。

因为这个以及其它的一些特殊原因，HECM保险要求有一个新的风险分析系统和定价模型。HECM实证研究所采取的方法就是先对所有的贷款都确定一个统一的保险费结构，然后通过限制贷款者能够提供给借款者的贷款额度来控制每项贷款的风险。 对贷款额度进行限制也就限制了将来贷款的余额，因此控制了将来损失发生的风险。这就将HECM的定价问题转换成了如何最好地决定贷款限额的问题。文中的模型提供了HECM贷款保险定价的主要分析工具。

HECM保险是什么？

HECM实证研究下的抵押贷款保险，能够降低将反向抵押贷款以一次性支付或者分期支付的方式提供给合格的老年户主的私人放款者的风险。 这些贷款工具和以前的贷款和票据的差别主要有以下三点。第一，借款者在贷款到期之前不需要还款。第二，票据直到借款者搬家、卖掉住房或者死亡的时候才到期。其他原因会加速贷款的到期，如没有交税和对住房的破坏。最后，这些贷款是无追索权的，这意味着贷方只能依靠被抵押的住房（抵押物）的价值，而不是借款者的其它资产来偿还贷款。

两种方案：转让贷款和分享保险费

HECM项目中的对抵押物风险的保险在实际运行中要复杂一些。 法令间接地使项目面向低收入、低住房价值的借款者，但也没有将其他借款者排除在外。通过限定住房价值和以期初对住房的估价来确定保险索赔的大小来达到这个目的， 联邦住房管理委员会203（b）给出了这个领域贷款的上限。联邦住房管理委员会203（b）将地方房屋售价平均值的95%作为限额，最小值为67500美元，最大值为151725美元。对保险索赔的限制，一旦这些贷款的余额超过了能够得到的保险索赔，又给一些贷款带来了抵押物风险。

虽然间接地面向低收入家庭，OEA认为对贷款者来说，对抵押物风险进行全额保险是很重要的。因此，给HECM的贷款方提供了两种抵押贷款保险方案。

贷款转让方案提供全额保险，但对保险索赔额作出了限制，当未偿余额达到了保险索赔的最大值时，就允许贷方将贷款转让给住房与城市发展部。一旦转给住房与城市发展部，先前的贷方就不再对该贷款和票据承担责任了。借款者不受贷款转让的影响——住房与城市发展部成了新的贷款者，借款人仍将享受到以前的贷款协议规定的权利。许多传统的抵押贷款的贷方可能会选择这个方案，因为它能提供全额保险。

保险费分享方案要求贷方承担未偿贷款总额超过保险索赔额的抵押物风险。住房与城市发展部给贷方一部分保险费来冲消将来的损失。实际上，风险和保险费的分担就像一个再保险合同。贷款者就像住房与城市发展部的再保险人，承担超过最大保险索赔额的损失，而住房与城市发展部仍然为第一保险人。非传统抵押贷款的贷方如习惯对风险金融工具定价的人寿保险公司，可能觉得这个方案很有吸引力。但要注意，实际上却并没有贷方选择这种保险方式。

承保人的风险   正如上面所提到的那样，借款者的寿命、利率和将来的住房价值都是使反向抵押的贷款者面临抵押物风险的主要因素。 对抵押物风险保险 ，则HECM或者HECM类型的反向抵押贷款的承保人将承担主要风险。

寿命风险  一些风险是可以分散的，即可以通过大量贷款来有效控制这些风险。寿命就属于这类风险。通过很多这样的贷款，贷方或保险人就可以依靠死亡率表（即人寿保险的生命统计表）和其他信息做出比较合理和精确的预测。举例说，一个反向抵押贷款的借款人活到了102岁，这对与一个小的且没有保险的贷款人来说是一个很严重的问题。但对一个保险机构来说，由于他拥有上千个这样的贷款，一项贷款的大量损失可以通过其它贷款的盈利来弥补。

逆向选择通常是保险中与人寿风险相关的一个问题。如果一个人预期他的或者她的风险比一组的平均数高（低），那么这个人和其他人比较起来就更可能（更不可能）购买保险。 换句话说，只有那些认为他们将获利颇多的人才会购买保险。因为承保人不总能知道在一组人中哪些人的风险最大，因此他不能对这些风险最大的人收取更多的保险费。 结果可能就是，保险人没有收到足够的保险费以弥补损失。如果保险费因此而提高，申请保险的人也就会更少，只有那些预期风险非常大的人才会购买保险了。

逆向选择是一个信息不对称问题。如果一个人拥有更多的信息从而能比承保人更好地估计他自己的风险，那么就可能存在逆向选择问题。也就是说要引起逆向选择，信息不对称是一个必需条件，但信息不对称并不一定就会引起逆向选择的发生。关于死亡率，一般对年龄相近的人一起评估风险，这是为了降低个人寿命的信息不对称问题。 传统的人寿保险通常运用医疗信息来降低信息不对称问题。

和寿险一样，住房与城市发展部的HECM项目的反向抵押贷款也是对年龄相近的人一起评估风险。但与寿险不同的是，法律规定没有规定HECM中必须包含医疗信息，它可能并不必要，因为HECM项目将消除那些寿命信息不对称的个人的一些优势。

HECM贷款尤其对那些预期还能活很久的人是很有好处的。因此，那些认为自己非常健康的人可能就有逆向选择的风险。但是身体健康很差的借款者也会觉得这个项目很吸引人，因为HECM贷款可以构建成一个短期的工具，在很短的年份内就提供大量的现金。现金支付并不一定都要采取长期的年金形式。实证也是支持这个理论的。HECM的发起人说，他们的许多客户都非常穷，而且病得很厉害。住房与城市发展部将来对HECM的实证研究中还将包含对贷款终止期的分析，将提供一些可以用来评估与寿命有关的逆向选择问题的数据。

利率

HECM贷款者的资产负债表上如果包含他的HECM项目，那么该贷款者就将面临与同期限的资产和负债的匹配问题相关的利率风险。本文不对这方面做出分析。 HECM的承保人只承担由利率升降带来的抵押物风险。这种风险会产生，是因为HECM贷款几乎都是可调息抵押贷款，允许有固定利率的HECM贷款，但因为高利率风险，联邦国家贷款协会（Fannie Mae）不购买固定利率的HECM贷款，所有现在没有贷款人发起这种贷款。利率的上升并不会使规定的应支付给借款者的现金减少。这是HECM项目对借款人的保护。如果利率上升，应计利息的数额就将更大，当贷款终止时要求得到偿还的贷款数额也就更大。

利率风险和寿命风险不一样，利率风险是不可分散的，是引起反向抵押贷款模型中不确定性的一个因素。简单说来，如果模型中包括风险调整或者风险保险费在内，那么利率就能在模型中确定下来。考虑到实际的利率升降问题，借款者的贷款额度将被减少。

HECM模型选择了固定利率并对其进行风险调整，而不是去模拟可调整的利率将来的变化。可以调整的固定利率也叫做HECM模型中的期望利率。贷款初始时的利率被定为十年期的国债率加上贷方的利润率，而重新调整的利率为一年期的国库券的利率加上贷方的利润率。

如果曲线向右上方倾斜，那么期望利率将高于以前的贷款利率。运用期望利率来预期将来的贷款总额，模型估计了利率随着时间的变化。

承保人也可以用担保物权来对利率风险进行套期保值。因为当住房价值上升时，保险索赔额就变低，承保人保险人可通过套期保值使得住房的增值与利率变化正相关。套期保值的有效性还需要进一步的调查研究来论证。

这个模型不打算消除流动性保险费从预期利率。

SEC  讨论了不便的时间序列。

住房价值  住房价值的不确定性是一种只能部分被分散的风险。要将风险降到最低，要求必须有分布在许多不同地区房地产市场上的大量贷款。这种地区分布可以把单个地区的经济衰退带来的住房价值的风险降到最低。 但是，全国性的经济衰退引起的风险却是不可分散的。即使这种风险能够尽量被降低，但仍然存在一个与借款人的寿命和利率风险不同的风险。经论证，住房价值不是一个不变的时间序列。个人住房价值随着年龄增加而变化。换句话说，时间越长，对住房价值的预期估计的偏差就可能越大。因为它的不稳定性，用对利率的简单的风险调整来调整住房价值是不够的。

一些研究人员用随机的几何布朗运动过程来模拟住房价值。比如Cunningham和 Hendershott(1984)， Kau 、Keenan和 Muller(1993)这个过程也叫做对数正态随机游动。当百分率变化而不是绝对值的变化被假定为是相互独立的并且同分布时，用几何的布朗运动来进行模拟是有用的。这种方法是有用的，因为你可以把住房看作是零息票的不动产。零息票意味着从住房中收回的价值不包括租金——这是一个合理的假设（如果贷款承保人没有兴趣去计算租金的话）。但是，从住房中收回的价值包括了一个名义通胀率的期望值μ 和一个用来描述名义通胀率的期望值的偏离程度的随机项σ，

得出的微分等式描述了一个布朗运动过程：假设μ和σ是常量。注意dH 和dT分别是住房价值和时间的微分。 dZ是一个平均数为0、标准差为1的正态分布随机变量。

d H/H=μdt + σdz                          （1）

利用随机游动，每年每个住房的增殖率可以看作是对一个平均数为μ、标准差为σ的正态分布变量的独立观察。

我们可以得到一个等同的几何布朗运动的表达式：H（t）=H₀ e^Y(t)

这里， H（t）——将来t时间的住房价值    H₀——起始时的住房价值

Y（t）—— 通胀的期望值，

——标准的布朗运动，期望平均值为0，标准差为σ√t

注意因为标准布朗运动B（t）对所有t >0都是正态分布， H（）的分布是对数正态的。见Ross（1983）或者 Malliaris 和Brock（1982）。

由此得出结论, 随着时间而渐增的增值率也是正态分布，但平均数μt和标准差σ√t 随时间而变大。因此，随着时间增加，渐增的增值率的标准差也增加。 这是方程式（1）的非平稳性的来源。

随机游动还告诉我们，现在的价值是的最好预测指标，将来价值可通过平均增值率得到。这个过程没有记忆，指之前观察到的价值对将来的预期没有帮助。随机冲击可能导致将来的价值偏离预期的价值，但预期者事先是没有方法知道这个冲击究竟将带来正效用或者负效用。 随机游动消除了与住房相关的逆向选择问题。

如果潜在的借款者比贷款者或者承保人对他们自己住房未来的价值拥有更多的信息，那么就将发生住房的逆向选择问题。 这与前面提到的寿命的信息不对称是类似的。如果住房的未来价值符合随机游动过程，那么现在的价值就是这些价值的最好预测指标，且这是双方都能得到的信息。如果他们不是都能得到这些信息，那么那些潜在的借款者可能就未来价值问题上比贷方拥有更多的信息。

值得一提的是，地方房地产市场可能具有周期特征：一段时期房地产的价值将攀升直至峰点，然后就又开始下降。那么现在的住房价值可能就不能为将来价值的预测提供足够的信息。市场的无效还可能引起自相关，实际上时间序列过程就会产生一些记忆。这将会发生投机的价格泡沫。知道地方市场周期性变化规律的潜在买者，就可能知道价值已经达到了峰值，将来的随机冲击更可能带来负效应。 如果这是可能的，那么贷方和承保人因为只知道现在的价值，从而知道的信息可能比借款人知道的要少。这就会带来住房的逆向选择问题发生的可能。

虽然Case和 Shiller(1989) 在住房房地产市场上发现了自相关性，但其他的研究者如Gau(1987)得出的结论是，长期看来是不会发生自相关性的，即房地产市场是有效的。这表明短期分析中最好使用住房价值的自相关模型。 但是在长期，使用随机游动模型仍然是恰当的。所以我们选用一个随机游动模型透过长期的视角来进行HECM风险分析。

虽然还没有经过实证验证，但HECM设计者们相信一个包含自相关性的模型得出的结果和本文采用的模型得出的结果应该是类似的。 潜在的借款者因掌握了地方住房价值变化的趋势就占有一些优势，但他们运用信息不对称的能力是受到限制的。这也是Case和 Shiller(1989)的研究成果，他们总结道，很难从地方价格指数的变化趋势中得到好处，因为一个城市的住房的价值水平还受到许多其它因素的干扰。另外，虽然这些趋势拥有一些记忆，但这些记忆的影响很快消失了。除了第一、二年，不管运用一个自相关模型，还是运用一个随机游动模型，它们所得出的承保人对住房价值的长期预测值的分布是类似的。

贷款终止的独立性

我们在给出HECM模型的等式之前，还需要提以下其它三个假设。 第一个假设是HECM贷款的终止与利率和住房价值无关。这意味着单使用借款者的年龄就可以正确地估计出贷款的终止时间，终止时间在住房价值分布中是随机发生的。和以前的抵押贷款相比 HECM模拟起来更加简单。运用不确定性来估计损失，但不需要对借款者的行为进行模拟。

因为以下的原因，贷款的终止与利率变化没有关系。1.贷款已经被假定为利率是可以调整的，这意味着，当利率下降时借款者能从低利率中得到好处。2.但利率变化时，HECM不需要对每月的支付额进行调整。3.对反向抵押贷款的再融资要求借款者通过以较低利息的另一个抵押中获得的收入来解除以前的一个抵押。这将会严重地降低新的抵押贷款中的现金支付额。在许多情况下，借款者若选择不再融资，则境况会更好。

类似地， 终止与住房价值无关。 当价值上升时，结束旧的贷款然后开始一个新的贷款的成本往往会让人们放弃再融资的念头。当住房价值下降时，终止就更不会发生了。以前形式的抵押贷款在住房价值降低时往往就终止了，但反向抵押贷款却使借款者 即使在经济衰退的时候却仍然不会终止贷款。

共享额外收益

第二个假设就是反向抵押贷款保险不是一个共享额外收益的项目。共享额外收益是这样一种机制，它将额外收益分给那些为承保人带来了利润的借款者。 共享额外收益使得保险定价在初期时采取稳健的审慎的原则，在后期则又将一部分额外收益返还。举例来说，联邦住房管理委员会 203（b）中的抵押贷款保险就是一个共享额外收益的项目。到目前为止，大约在贷款的第12年会宣布分配额外收益。在第12年之后，这种贷款的损失一般都会大量减少，因此这使得保险精算师能够准确估计出额外的收益。

反向抵押贷款不是共享额外收益的，因为在第12年之后大额损失仍可能发生。实际上，保险精算师只有在大部分借款者死亡了的背景下，才能准确确定出一个年龄组中有哪些人是使他们获利的。政府机构如住房与城市发展部在定价问题上对缺乏共享额外收益机制是很敏感的，尤其是因为借款者大都年老而且很穷。这就为住房与城市发展部提出了一些问题。比如说，反向抵押贷款保险大都应该是自助的吗？这就要求在好的年份积累资金以抵消坏的年份可能带来的冲击。或者缺乏共享额外收益机制的资金积累，对一个弱势群体是索价太高？这些问题就引出了关于风险厌恶的假设。

风险中立

第三个假设是政府发起的反向抵押贷款保险是一个盈亏平衡的或风险中立的项目。但是，盈亏平衡应该包括利率和住房价值升降预期将带来的损失。它没有为那些超出预期损失之外的其它不测事件发生的可能性积累资金。

在风险中立假设下，虽然该项目没有为那些超出预期损失之外的其它不测事件发生的可能性积累资金，但对一些本身就带有备用资产的HECM项目情况是不同的。本身就带有备用资产的两种HECM项目是：1.借款人住房的价值超出了联邦住房管理委员会203（b）规定的上限，2.借款者保留一部分资产，即实际借的数额小于能借的最大数额。 给住房价值定一个上限，就意味着一些借款者参与到这个项目中时，本身就还有一部分可以用来缓冲的资；因此，保险损失的严重程度和发生的频率都要比那些没有住房价值上限的低。类似地，那些保留一部分资产的借款者的损失也要比预期的小。HECM项目的实证表明， 25%以上的被保险的住房的价值在限额之上。因为私营部门正在为这部分市场开发传统的反向抵押贷款产品，所以这个比例在将来可能会下降。现在还没有遇到过保留一部分住房资产的借款人。

模型的方程式

HECM模型要求预期的损失的现值要比预期能收到的保险费的现值小或者两者相等。这种关系对其它的保险方案也适用。对于分享保险费的方案，也可以用近似的方法分别计算出贷款者的损失和他收到的保险费。

因此，

这里   E[ ] ——价值期望的算子   ——时间t发生的损失    i——折扣率

 —— 预期在时间t能收到的保险费

评估表达式(2)的右边部分的计算需要用到两个函数：保险费的时刻表和贷款将继续存在的概率函数。在HECM的实证研究中, 保险费需一次性预付住房价值上限的2%, 每年还需交纳贷款总额预期值的0.5%. 随着时间变化的贷款总额，可通过支付给借款者的本金、预期的利率和收取的保险费来计算。贷款将继续存在的概率取决于借款者的年龄, 它可从死亡率表中推导出来，但需对因搬家或其它因素引起的贷款终止进行调整。

以上信息的表达式(2)的右端可以写成：

这里 ——贷款开始时借款者年龄为x的贷款在时间t仍然存在的概率.——贷款开始时借款者年龄为x的贷款在时间t仍然存在的概率.

对表达式(2)左边部分的计算需要进一步分析对损失的预期。因为只能在贷款终止的时候才能对损失进行保险索赔, 因此我们首先要推导出贷款终止的概率 ：

对于已经终止的贷款, 只有那些住房价值比贷款余额小的才会要求保险索赔。可以从以下的价值分布中，将贷款终止时住房价值小于贷款总额的概率计算出来。几何的布朗运动过程的渐增的增值率是平均数为μt和标准差为σ√t的正态分布。从正态分布的密度函数、贷款终止与住房价值无关的假设中可以得到：

这里，A(t)——贷款终止时住房价值小于贷款余额的可能性；b(t) =  BAL (t)/H₀ ；

H₀ —— 住房的初始价值（假设这些等式中的住房初始价值没有上限）。

BAL (t)——时间t 时的贷款余额

表示的是损失在t时间发生的可能性。其余的都是为了估算损失发生时的损失大小。不考虑交易成本，损失就等于贷款总额减去预期能从住房售价中收回的数额，它被叫做当价值小于贷款余额时的条件期望价值。 从住房价值的分布中计算出预期能从住房售价中收回的数额。它是贷款总额减去住房价值分布的平均数后的数值。

显然，条件期望值永远不会比贷款总额大。根据定义，在估计时就把分布中的那些大于未偿贷款余额的价值排除掉了。因此，当总额低时，条件预期价值就低。但当贷款余额无限制地增加呢？在这种情况下，我们可以由条件期望值转为考虑无条件的期望值，因为随着贷款余额的增长，估计中被排除掉的数值个数将越来越少。因此，条件的期望值的上界就是无条件的期望值。

无条件的预期值的对数正态分布的数学表达式为：

为了计算条件期望值，需给表达式（6）乘上一个 0和1之间取值的系数（这个等式的推导是根据对随机变量函数期望值的定义推导出来的。见Ross(1983)和Szymanoski(1990)。 Parzen(1960)指出，当积分上限为正无穷时，它的数值为1）

这里

A（t）可以在表达式（5）中找到。运用（4）到（7）的方程式，我们马上可以算出预期的损失数额：

不管采用哪种现金制服方式，若给定损失和保险费收入的预期估计值，则方程式（3）到（5）就可以用表达式（2）来代替。

对本金支付的限制

在HECM项目中，所有的现金支付将受到从模型中推导出来的每个贷款单独确定的本金限制系数的影响。本金限额系数为最高的贷款与住房价值的比率，这里保险费将对预期的未来损失做出保险（这个定义适用于没有上限的住房价值，那些包括住房价值上限的贷款的本金限制系数的值更低）。对初始的LTV比率的限制等同于对借款者一次性提取现金所能得到的贷款本金数额的限制。这等于一次性支付给借款者的现金数额加上借款手续费。举例来说， 如果本金限制系数为0.416， 住房价值为100,000美元，那么借款者若采取一次性提取现金的方式，则她所能提取的数额和借款手续费的和就为41,600美元。一次性将能得到的贷款数额全部提出的借款者在将来就没有现金可提了。

借款者年龄和利率对应这一个特殊的本金限制系数。HECM 中的限制系数的表格是二维的：年龄和利率。因为所有的现金支取都会受到本金限制系数的限制，我们就能大大简化反向抵押贷款风险控制问题。

HECM项目在借款者选择贷款本金支付方式时，给了他们很大的弹性。HECM允许几乎所有的现金支取方式，只要所提取的现金总额不超过本金限额就行了。用来计算HECM净现值的折扣率为票据的预期利率（包括模型的利率风险调整）再加上0.5%。

给定借款者年龄和利率的条件下运用模型来计算本金限制系数的过程是可以重复的。这个过程的步骤是：（1）估计系数值；（2）假设借款者选择了一次性提取贷款本金的方式，提取的数额为与本金限制系数乘上住房价值的值，（3）运用模型的等式计算出损失的期望值和保险费收入的期望值；（4）如果损失的期望值等于保险费收入的期望值则不再计算，如果不相等，则回到第一步并重新调整估计。

表1对应的是一个75岁的借款者和10%的利率。假定每年的升值率的平均值为4%，标准差为10%，得出的本金限制系数为0.416。这意味着如果提取的贷款本金的总额的现值不超过住房初始价值的41.6% 时，住房与城市发展部就将为该借款人提供保险。

表2表示了其它借款者年龄和利率组合的情况。注意，对于任意一个给定的利率，借款者年龄越大，本金限制系数就越大。类似地，对于任意一个给定的年龄，利率越低，本金限制系数就越大。

结论: 对和联邦住房管理委员会反向抵押贷款的风险分析系统和定价模型进行总结。它通过对本金支付的限制来控制风险，但要求承保人能够对住房增值的平均数、标准差和贷款终止的概率做出比较精确的估计假定。这些假定对于HECM定价模型是非常重要的。但对应该如何做出这些假定并应该采用哪些数据来进行分析的讨论超出了本文的讨论范围。

HECM实证分析中的假定在住房与城市发展部的《给国会的临时报告（1990）》中已经叙述过。这次实证研究的目的之一就是对这些估计和假定进行评估。显然，仍然需要对这个新的保险项目和它的定价模型中进行进一步的研究。

表1 住房反向抵押贷款，风险分析模型，保险费期望值和预期损失、本金限制系数的计算*

年份	单个抵押贷款年初余额	支付给借款者的现金流	应计利息	保险费（MIP）	年末余额
0	0	3.9600	0	2000	416..
1	41600	0	4366	218	46184
2	46184	0	4848	242	51274
3	51274	0	5382	269	56925
4	56925	0	5974	299	63198
5	63198	0	6633	332	70163
6	70163	0	7364	368	77895
7	77895	0	8175	409	86479
8	86479	0	9076	454	96009
9	96009	0	10077	504	106590
10	106590	0	11187	559	118336
11	118336	0	12420	621	131377
12	131377	0	13790	689	145856
13	145856	0	15308	765	161929
14	161929	0	17040	805	179774
15	179774	0	18869	943	199586
16	199586	0	20948	1047	221581
17	221581	0	23256	1163	246000
18	246000	0	25819	1291	273110
19	273110	0	28665	1433	303208
20	303208	0	31823	1591	336622
21	336622	0	35330	1767	373719
22	373719	0	39224	1961	414904
23	414904	0	43547	2177	511391
24	460628	0	48346	2417	511391
25	511391	0	53672	2684	567747

B．年末的计算值      

年份	住房价值的期望值	贷款终止时贷款余额超过住房价值的概率	条件期望值	贷款继续存在概率
0	100000	0.000	--	1.000
1	104603	0.000	--	0.956
2	109417	0.000	--	0.910
3	114454	0.000	54.757	0.862
4	119722	0.001	59.876	0.812
5	125232	0.007	65.392	0.759
6	130996	0.023	71.323	0.704
7	137026	0.054	77.685	0.648
8	143333	0.101	84494	0.589
9	149930	0.162	91763	0.531
10	156831	0.232	99503	0.473
11	164050	0.307	107726	0.416
12	171601	0.384	116439	0.361
13	179499	0.458	125650	0.308
14	187761	0.528	135364	0.259
15	196403	0.593	145587	0.215
16	205443	0.651	156321	0.175
17	214899	0.703	167569	0.139
18	224791	0.749	179334	0.108
19	235137	0.789	191620	0.083
20	245960	0.823	204430	0.061
21	257281	0.852	217769	0.045
22	269123	0.876	231644	0.032
23	281511	0.897	246063	0.022
24	294468	0.915	261037	0.015
25	308022	0.930	276578	0.000

C 大量抵押贷款的平均值

年份	MIP期望值名义值	MIP期望值现值	损失期望值的名义值	损失期望值的现值
0	2000	2000	0	0
1	214	205	0	0
2	227	197	0	0
3	239	189	0	0
4	251	181	0	0
5	261	171	1	0
6	270	161	4	2
7	277	150	16	8
8	281	139	43	21
9	283	127	97	44
10	282	115	187	76
11	277	103	318	118
12	269	91	496	167
13	257	79	712	219
14	242	68	953	266
15	224	57	1205	306
16	205	47	1459	338
17	183	39	1700	358
18	160	31	1893	363
19	137	24	2012	351
20	115	18	2047	325
21	94	14	2001	289
22	75	10	1876	247
23	58	7	1689	202
24	45	5	1467	160
25	33	3	3908	373

* 本金限制系数：0.416

借款人年龄： 75                    初始的住房价值：100,000美元

利率期望值：10%                   每年住房的增值率：4%

可索取的最大金额：100,000美元      住房的增值率的标准差：10%

保险费期望值的现值： 4231美元     损失期望值的现值： 4233美元

表2 年龄和利率组合的本金限制系数

利率（%）	65岁	75岁	85岁
7.0	0.49	0.61	0.74
8.5	0.37	0.50	0.66
10.0	0.28	0.42	0.59

 

- 作者： 柴效武 2004年12月26日, 星期日 22:58 加入博采